Inducția matematică: demonstrații de sume și divizibilitate — Clasa a IX-a

Vrei să demonstrezi prin inducție matematică că 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 pentru orice n ≥ 1. Care este propoziția pe care o verifici în etapa de verificare (baza inducției)?

Un coleg a verificat formula 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 pe câteva cazuri. Calculează cu formula suma primelor 10 numere naturale nenule.

Se demonstrează prin inducție egalitatea 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) = n(3n − 1)/2, pentru orice n ≥ 1. La pasul de inducție se trece de la k la k + 1, adică se adaugă în partea stângă un termen nou. Acest termen este ___ (scrie expresia în funcție de k).

Pașii unei demonstrații prin inducție au fost amestecați. Pune-i în ordinea logică corectă.

Mara susține: „Pentru n = 1 avem 2 > 1. Dacă 2^k > k², atunci 2^(k+1) > (k+1)². Deci 2^n > n² pentru orice n ≥ 1.” Dă un contraexemplu care arată că raționamentul ei nu este corect, apoi explică în 1–2 propoziții ce nu este justificat în pasul ei de la k la k + 1.

Adevărat sau fals: pentru propoziția „3^n > 2n + 1, pentru orice n ≥ 1”, verificarea pentru n = 1 dă o afirmație adevărată, deci baza inducției este îndeplinită și demonstrația poate începe de la n = 1.

Fie propoziția P(n): „7^n − 1 este divizibil cu 6”. În pasul de inducție se pornește de la ipoteza 7^k − 1 = 6m, cu m număr natural. Scrie numărul 7^(k+1) − 1 sub forma 6 · (...), folosind ipoteza. Ce expresie în funcție de m apare în paranteză?

Studiezi propoziția P(n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1), pentru n ≥ 1. În pasul de inducție presupui că P(k) este adevărată, adică 2 + 4 + ... + 2k = k(k + 1), și adaugi ambilor membri termenul 2(k + 1). Cărei expresii factorizate este egală suma k(k + 1) + 2(k + 1), astfel încât să obții P(k + 1)?